Квітки багатьох рослин володіють поворотною симетрією 5-го порядку, яка до останнього часу не спостерігалося в неживій природі. Кристалічна решітка кварцу наприклад, має поворотну вісь 6-го порядку.
Іл. 1. Сторона квадрата АВ і його діагональ АС несумірні.
Схематичне зображення кристалічних решіток: а - одновимірна решітка (ряд точок); б - двомірна решітка (плоска сітка); в - тривимірна решітка (просторова). Жирними лініями виділені елементарні осередки.
Періодичні сітки з різними типами осей симетрії: 1 і 2 - прямокутники і паралелограми з віссю 2-го порядку; 3 - правильні трикутники з віссю 3-го порядку; 4 - квадрати з віссю 4-го порядку; 5 - правильні шестикутники з віссю 6-го порядку.
Іл. 2. Двомірна кристалічна решітка ілюструє трансляційний і орієнтаційний типи далекого порядку в звичайних кристалах.
Сітка з правильними п'ятикутниками має порожні місця - неузгодження.
Одновимірна квазікристал з періодом, що змінюються за законом геометричної прогресії.
Мозаїку Пенроуза складають з вузьких і широких золотих ромбів, поєднуючи їх у відповідності зі стрілками на сторонах.
Наука і життя // Ілюстрації
Мозаїка Пенроуза. Білою крапкою відзначений центр поворотною симетрії 5-го порядку: поворот навколо неї на 72 ° переводить мозаїку саму в себе.
Іл. 3. Правильні багатогранники - ікосаедр і додекаедр.
Іл. 4. Фуллерен.
Малюнок Моріца Ешера "Круговий межа" - приклад суцільного заповнення площини елементами декількох видів.
<
>
Ніяке значне відкриття або винахід не може бути зроблено без свідомого прагнення до нього.
Ж.Адамар
Наука зіткана з відкриттів, і особливе значення в ній мають ті, які стосуються засад усталених уявлень. Таких прикладів історія наукового пізнання знає не так вже й багато. Згадаймо деякі з них.
Математичне співтовариство Стародавньої Греції було вражене відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало суперечити піфагорейської теорією цілих чисел. Вчення про целочисленной основі всього сущого перестало бути істинним. Між двома священними числами 1 і 2 виникло "щось", що не виражається за допомогою натуральних чисел. Виникло те, що ми називаємо, але у греків такого арифметичного числа не було. Воно існувало тільки геометрично, як діагональ квадрата зі стороною, що дорівнює 1. Але навіть в цьому випадку приголомшуюче відкриття неспівмірності показувало, що дві пов'язані між собою частини найпростішої геометричної фігури - сторона і діагональ квадрата - антагоністи, які не мають загальної міри.
Драматичні події в хімії останній третині XVIII століття отримали назву "хімічної революції". Восени 1772 року експерименти А. Лавуазьє по спалюванню фосфору і сірки в герметично запаяних судинах привели до повалення панувала тоді теорії флогістону і до заміни її кисневої теорією горіння і прожарювання (див. "Наука і життя" №№ 10, 11, 1993 г.) . З цього моменту почалося формування нових уявлень про агрегатних станах речовини, а поняття "елементний аналіз" і "елементний склад" отримали нове тлумачення. Закон збереження маси знайшов хімічний сенс закону збереження елементів.
Відкрите Г. Камерлінг-Оннес в 1911 році екзотичне явище надпровідності майже півстоліття залишалося однією з найбільш інтригуючих загадок фізики, своєрідним викликом науковому співтовариству. Багато видатних дослідники робили спроби пояснити надпровідність, але вони незмінно виявлялися марними. Тільки лише до 1957 року вдалося досягти порозуміння фізичної природи цього дивного явища (див. "Наука і життя" № 2, 2004 р ).
У число видатних наукових відкриттів слід включити і результати роботи ізраїльського фізика Д. Шехтмана, який працював разом з колегами у Вашингтоні, в Національному бюро стандартів США, і який повідомив в грудні 1984 року про отримання кристалоподібні сплаву з незвичайними властивостями. З цього моменту стало бурхливо розвиватися новий напрямок фізики конденсованого стану - область некрісталлографіческіх структур, принципово відрізняється від області не тільки кристалів, але і аморфних тіл і рідин.
Щоб зрозуміти сенс цього порівняно недавнього відкриття нового класу твердих тіл, згадаємо термінологію і основні принципи класичної кристалографії, яка як самостійна наука зародилася ще в XVII столітті.
Кристали і симетрії
Кристалографія вивчає фізичні властивості, освіту і зростання кристалів, а також їх зовнішню і внутрішню геометрію. До кристалів можна віднести мінерали, все метали, солі, більшість органічних сполук і безліч інших твердих тіл. Розглядаючи кристали різних мінералів, можна бачити, що деякі з них мають вигляд геометрично правильних багатогранників. Наприклад, кристали кам'яної солі (NaCl) представляють собою куби, кристали кварцу (SiO2) - правильні шестигранні призми, увінчані пірамідами, кристали флюориту (СаF2) - прозорі з різноманітною забарвленням октаедричні і кубічні агрегати.
Закономірна і досконала геометрія кристалів здавна наводила дослідників на думку про наявність закономірностей і в їх внутрішню будову. І дійсно, з часом з'ясувалося, що природні плоскі грані і рівні ребра кристалів відображають їх внутрішню структуру, є зовнішнім виразом впорядкованого розташування іонів, атомів, молекул або їх груп, що входять в хімічну формулу кристала. Ці впорядковані структурні частинки, розташовані правильними рядами в строгій ієрархічній послідовності, визначають просторову кристалічну решітку. Так що кристал - це єдине тіло, в якому кожна структурна частка взаємодіє з іншими частинками і живе з ними спільними інтересами. Разом всі частинки утворюють свою "всесвіт" - об'ємну порожнисту структуру у вигляді кристалічної решітки.
Для суворого опису кристалічної решітки, яка, взагалі кажучи, являє собою математичну абстракцію, наука виробила особливий мову. Терміни цієї мови дозволяють повністю або частково уявити внутрішню архітектуру кристалів. Серед цих термінів самим фундаментальним поняттям є симетрія. Поняття симетрії застосовується в різних розділах сучасного природознавства і асоціюється з такими категоріями, як відповідність, гармонія, порядок, стабільність. При описі кристалічних структур, які "блищать своєю симетрією", використовують численні операції. Для наших же цілей досить пояснити всього дві специфічні операції симетрії - трансляційну (переносну) і поворотну (обертальну).
Трансляційна симетрія - повторюваність об'єкта в просторі через певну відстань уздовж прямої, званої віссю трансляції. Подібний тип симетрії часто зустрічає ся в повсякденному житті. Найпростішим прикладом трансляційної симетрії може служити знайомий усім шкільний зошита в клітинку. Глобальна структура листа виходить послідовним "розмноженням" однієї клітини, її повторенням через певну відстань. Малюнки на шпалерах, паркетні підлоги, мереживні стрічки, плиткові доріжки, бордюри - всі вони також мають трансляційної симетрією, так як їх збігаються самі з собою візерунки неважко уявити тягнуться безмежно.
Трансляційна симетрія властива і невидимою оком архітектурі кристалів. Зазвичай в наочних кристалографічних моделях структурні частинки кристалів зображуються у вигляді точок, а хімічні зв'язки між ними у вигляді ліній. Кристалічна решітка в такому випадку будується шляхом періодичної трансляції (переміщення) частинок уздовж осей переносу (координатних осей). Послідовність побудови решітки може бути наступною. Спочатку розглядається рух в одному напрямку, коли вихідна частка переміщається на трансляційний вектор а (вектор елементарного зсуву). В результаті виходить періодичний ряд ідентичних точок на відстанях а, 2 а, 3 а, ..., nа, який називається одномірної гратами. Найкоротша відстань а називається періодом трансляції.
Вихідну частку можна переміщати і вздовж іншої осі перенесення на вектор трансляції b. В результаті виходить двомірна решітка. При трансляційному переміщенні частинки уздовж третьої осі перенесення на вектор з утворюється тривимірна решітка. У загальному випадку вектори трансляції утворюють між собою не перпендикулярні і нерівні кути. Періоди трансляції за різними напрямками також можуть відрізнятися один від одного (a 
b c).
Паралелепіпед, утворений трьома векторами а, b і с, називається елементарною клітинкою. Цей осередок служить "будівельним блоком" кристала, так як дозволяє шляхом однакових трансляцій заповнювати всі його тіло без проміжків. Елементарну комірку можна будувати по-різному, але прийнято вибирати її так, щоб вона найкращим чином відображала симетрію кристала і володіла найменшим обсягом.
Поворотна симетрія - властивість кристала поєднуватися з самим собою при обертанні на деякий певний кут навколо осі симетрії. Якщо кристал повертається навколо такої осі, він може в загальному випадку за повний оборот займати положення, однакове з колишнім становищем, n раз. Число n називається порядком осі. Ось n- го порядку - це вісь повороту на кут, кратний 2p / n. Ілюструвати поняття осі симетрії можна на прикладі правильної п'ятикутної зірки, що має вісь 5-го порядку. Обертаючи зірку навколо центру, можна п'ять разів поєднати її саму з собою.
Трансляційна і поворотна симетрії не завжди уживаються один з іншого. При наявності трансляційної симетрії можливі тільки осі симетрії, що відповідають поворотам на 180, 120, 90 і 60 градусів. Ці осі позначають символами 2, 3, 4 і 6. Строго математично доведено, що відмічені порядки осей в тому чи іншому поєднанні для кристалів єдино можливі. Інших порядків осей симетрії, поворот навколо яких перекладав би грати кристала саму в себе, в класичній кристалографії не існує. Наприклад, не може бути осі симетрії, що відповідає повороту на кут 2p / 5, тобто немає кристалів, які можна було б повернути на кут 72о, поєднавши його частки. Заборонені також і осі вище 6-го порядку, так як їх існування в кристалі несумісне з поданням про трансляційної симетрії.
Речовини можуть мати найрізноманітніші поєднання дозволених осей симетрії. Наприклад, в той час як хлористий цезій CsCl (проста кубічна решітка) має три осі 4-го порядку, чотири осі 3-го порядку і шість осей 2-го порядку, у кіаніту Al2SiO5 взагалі немає осей симетрії.
Трансляційна і поворотна симетрії породжують важливе поняття далекого порядку, який буває двох типів - дальній трансляційний порядок і дальній орієнтаційний порядок.
порядок симетрії
У XX столітті робилися неодноразові спроби розширити традиційні схеми кристалічного порядку симетрії і ввести поняття не зовсім "правильних" або "майже" періодичних кристалів. Щоб зрозуміти що виникали при цьому труднощі, звернемося до забороненої в класичній кристалографії осі симетрії 5-го порядку. Якщо для простоти розглядати двомірну грати, то віссю симетрії 5-го порядку мають правильні п'ятикутник, які не можуть бути елементарними осередками кристала, оскільки на противагу правильним трикутниках, шестикутник і квадратах їх не можна на площині підігнати один до одного щільно, без зазорів. Залишається вільний простір називають неузгодженістю. Саме неузгодженість і виявляється каменем преткнове ня для осей симетрії 5-го, 7-го і більш високих порядків.
Симетрія, що містить мотиви осей 5-го порядку, довгий час не приділялося належної уваги, так як вважалося, що на атомно-молекулярному рівні відповідні освіти в неживій природі не реалізуються. Яке ж було здивування кристалографії і фізиків, коли несподівано в пресі з'явилася робота групи Д. Шехтмана про відкриття сплаву алюмінію з марганцем з незвичайними властивостями. Він мав структуру схожу на кристал, але їм не був, так як мав обертальної симетрією 5-го порядку.
Металевий сплав Al86Mn14 створювався швидким охолодженням розплаву зі швидкістю близько 1 млн градусів в секунду. Електронограмма отриманого зразка показувала різкі регулярні максимуми, котрі володіли поворотною симетрією 5-го порядку! Виявлена структура, названа згодом шехтманітом, здавалася парадоксальною. Наявність різких дифракційних максимумів свідчило про упорядкованому розташуванні атомів в структурі, характерною для кристалів, а наявність спостерігалася осі симетрії 5-го порядку суперечило фундаментальним уявленням класичної кристалографії і говорило про те, що досліджуване речовина не кристал!
Деякий час по тому було виявлено та синтезовано безліч аналогічних структур, що складаються, як правило, з атомів металів і (іноді) кремнію, названих квазікристалів 1 . Щороку з'являються повідомлення і про нові за складом квазікристалів, і про нові варіанти структур, існування яких раніше не можна було навіть припустити. До теперішнього часу в більшості синтезованих квазікристалів виявлені осі симетрії 5-го, 7-го, 8-го, 10-го, 12-го і ще більш високих порядків, заборонені для ідеальних кристалів.
Найбільше задоволення від феномена "кристаллографической катастрофи" отримали ті, хто намагався боротися з забороною на вісь симетрії 5-го порядку і хто був добре знайомий з усім обсягом накопиченого на той час теоретичного матеріалу. Розрахунки показували, що існування структур з віссю 5-го порядку можливо, але вони допускалися тільки для ультрадисперсних середовищ з розміром металевих частинок в області від 1 до 100 нм. Освіта бoльших частинок пов'язували з виникненням порожнеч або пружних внутрішніх деформацій. Вважали, що існує критичний розмір, вище якого п'ятикутні структури стають менш стабільними, ніж кристалічні. Теоретики не дарма витрачали час, обмірковуючи, якими можуть бути нетрадиційні структури, так як вже через рік після відкриття шехтманіта з'явилися його теоретичні моделі. Для наочності основні ідеї цих теоретичних моделей розглянемо на одновимірних і двовимірних структурах.
Ланцюжки і мозаїки
Спочатку розглянемо наступну ідеалізовану модель. Нехай в рівноважному стані частки розташовані уздовж осі перенесення z і утворюють лінійну ланцюжок з перемінним періодом, що змінюються за законом геометричної прогресії:
а n = a 1 · D n-1,
де a 1 - початковий період між частинками, n - порядковий номер періоду, n = 1, 2, ..., D = (1 + √5) / 2 = 1,6180339 ... - число золотий пропорції.
Побудована ланцюжок частинок служить прикладом одновимірного квазікристала з дальнім порядком симетрії. Структура абсолютно впорядкована, спостерігається систематичність в розташуванні частинок на осі - їх координати визначаються одним законом. Разом з тим немає повторюваності - періоди між частинками різні і весь час зростають. Тому отримана одномірна структура не має трансляційної симетрією, і викликано це не хаотичним розташуванням частинок (як в аморфних структурах), а ірраціональним ставленням двох сусідніх періодів (D - число ірраціональне).
Логічним продовженням розглянутої одновимірної структури квазікристала служить двомірна структура, яку можна описати через побудову неперіодичних мозаїк (візерунків), що складаються з двох різних елементів, двох елементарних осередків. Таку мозаїку розробив в 1974 році фізик-теоретик з Оксфордського університету Р. Пенроуз. Він знайшов мозаїку з двох ромбів з рівними сторонами. Внутрішні кути вузького ромба рівні 36 ° і 144 °, широкого ромба - 72 ° і 108 °.
Кути цих ромбів пов'язані із золотою пропорцією, яка алгебраїчно виражається рівнянням х 2 - х - 1 = 0 або рівнянням у 2 + у - 1 = 0. Корені цих квадратних рівнянь можна записати в тригонометричному вигляді:
x 1 = 2cos36 °, x 2 = 2cоs108 °,
y 1 = 2cos72 °, y 2 = cos144 °.
Такий нетрадиційний вид уявлення коренів рівнянь показує, що ці ромби можна назвати вузьким і широким золотими ромбами.
У мозаїці Пенроуза площину закривається золотими ромбами без пропусків і перекриттів, і її можна безмежно розстеляти в довжину і ширину. Але для побудови нескінченної мозаїки треба дотримуватися певних правил, що істотно відрізняються від одноманітного повторення однакових елементарних осередків, складових кристал. Якщо правило підгонки золотих ромбів порушити, то через деякий час зростання мозаїки припиниться, тому що з'являться непереборні неузгодження.
У нескінченній мозаїці Пенроуза золоті ромби розташовуються без суворої періодичності. Однак ставлення числа широких золотих ромбів до числа вузьких золотих ромбів точно дорівнює золотому числу D = (1 + √5) / 2 = = 1,6180339 .... Оскільки число D ірраціональне, в подібній мозаїці можна виділити елементарну комірку з цілим числом ромбів кожного виду, трансляцією якої можна було б отримати всю мозаїку.
Мозаїка Пенроуза має свою особливу красу і як об'єкт цікавої математики. Не вдаючись в усі аспекти цього питання, відзначимо, що навіть перший крок - побудова мозаїки - досить цікавий, тому що вимагає уваги, терпіння і певної кмітливості. А вже масу вигадки і фантазії можна проявити, якщо зробити мозаїку різнобарвною. Розмальовку, що перетворюється відразу в гру, можна виконати численними оригінальними способами, варіанти яких представлені на малюнках (внизу). Білою крапкою відзначений центр мозаїки, поворот навколо якого на 72 ° переводить її саму в себе.
Мозаїка Пенроуза - чудовий приклад того, як красиве побудова, що знаходиться на стику різних дисциплін, обов'язково знаходить собі застосування. Якщо вузлові точки замінити атомами, мозаїка Пенроуза стане хорошим аналогом двомірного квазікристала, так як має багато властивостей, характерних для такого стану речовини. І ось чому.
По-перше, побудова мозаїки реалізується за певним алгоритмом, внаслідок чого вона виявляється не випадковою, а впорядкованою структурою. Будь-яка її кінцева частина зустрічається у всій мозаїці незліченна безліч разів.
По-друге, в мозаїці можна виділити багато правильних десятіугольнік, що мають абсолютно однакові орієнтації. Вони створюють дальній орієнтаційний порядок, названий квазіпериодичним. Це означає, що між віддаленими структурами мозаїки існує взаємодія, яке погоджує розташування і відносну орієнтацію ромбів цілком певним, хоча і неоднозначним способом.
По-третє, якщо послідовно зафарбувати все ромби зі сторонами, паралельними якого-небудь обраним напрямом, то вони утворюють серію ламаних ліній. Уздовж цих ламаних ліній можна провести прямі паралельні лінії, віддалені один від одного приблизно на однаковій відстані. Завдяки цій властивості можна говорити про деяку трансляційної симетрії в мозаїці Пенроуза.
По-четверте, послідовно зафарбовані ромби утворюють п'ять сімейств подібних паралельних ліній, що перетинаються під кутами, кратними 72 °. Напрямки цих ламаних ліній відповідають напрямам сторін правильного п'ятикутника. Тому мозаїка Пенроуза має в якійсь мірі поворотну симетрію 5-го порядку і в цьому сенсі подібна квазікристалів.
Мозаїка Пенроуза - модель квазікристала
Отже, модель квазікристала може бути створена на основі мозаїки Пенроуза з двома "елементарними осередками", з'єднаними між собою за певними правилами стикування. Ці спеціальні правила набагато складніше, ніж примітивне транслювання однакових осередків в класичних кристалах. Модель Пенроуза добре описує деякі основні властивості квазікристалів, але недостатньо пояснює реальні процеси їх атомного зростання, що носять явно нелокальний характер. Існують і інші теоретичні моделі, так чи інакше намагаються вирішити суперечки вчених про природу квазікристалічних структур. Однак в більшості публікацій витончені мозаїки Пенроуза з двома і більше фігурами визнаються найбільш правильним ключем до розуміння структури квазікристалів.
В даний час розроблено і тривимірне узагальнення мозаїки Пенроуза, яка складається з вузького і широкого ромбоедрів, шестигранних фігур, кожна грань яких - ромб. Така просторова мозаїка має ікосаедріческой симетрією. Пояснимо цей вид симетрії. Давньогрецький філософ Платон вивчав правильні багатогранники і визначив, що може бути тільки п'ять фігур, що мають однакові межі і однакові ребра. Це куб, тетраедр, октаедр, додекаедр і ікосаедр (згодом вони стали грати важливу роль в грецькій натурфілософії). Дві останні фігури мають шістьма поворотними осями 5-го порядку, тобто поєднуються самі з собою при обертанні на 1/5 обороту навколо осей, що проходять через центри протилежних граней у додекаедру і через протилежні вершини у ікосаедра. Відповідна цим двом постатям поворотна симетрія називається ікосаедріческой.
До відкриття шехтманіта ікосаедрічеськая симетрія мало привертала уваги вчених, оскільки вважалося, що відповідні їй структури на атомному рівні у вигляді кристалів не реалізуються. Екзотичність ситуації з шехтманітом якраз і полягала в тому, що в ньому виявилися зерна в формі Додекаедр - симетричного тіла з 12 гранями у формі правильних п'ятикутників (тому цю фігуру нерідко називають пентагон-додекаедр). Більш того, ікосаедріческой симетрії відповідало не тільки зерно, що мало розмір порядку сотень мікрон, але і розташування атомів на більш елементарному структурному рівні.
Фулерени і квазікристалів
Безпосереднє відношення до будови квазікристалів мають і відкриті в середині 1980-х років так звані фулерени - невідома раніше форма об'єднання атомів вуглецю в практично сферичні молекули Сn (n = 28, 54, 60, 70, 84, 120 ...). Їх відкриття посилило "кристалографічну катастрофу", викликану відкриттям квазікристалів. Найбільш вивчений вуглецевий нанооб'єктів - фулерен С60. До цього вважалося, що у вільному стані вуглець може перебувати у вигляді двох модифікацій - алмазу і графіту. Структура ж молекули С60 представляє щось інше. Це усічений по вершинах ікосаедр, тобто один з 14 неправильних (або напівправильних) багатогранників Архімеда, в якому шестикутники пов'язані між собою п'ятикутниками. Не вдаючись в детальний розгляд цієї фігури, відзначимо, що подібна структура нагадує футбольний м'яч, зшитий за традицією з чорних п'ятикутників і білих шестикутників. Не дивно, що така молекула має ікосаедріческой симетрією. Знайомство з фуллерена ми захоплює відразу, вражає їхня краса і пропорційність. Фулерени, як і квазікріс талієм, говорять про дивовижній гармонії світу, про безперервному єдності у всіх його проявах (див. "Наука і життя" № 7, 1992 р).
Інтерес до фуллеренам виник, перш за все, через їх своєрідною структури та симетрії, а також через можливість створювати на їх основі матеріали, що знаходять застосування в безлічі високих технологій. В першу чергу вони розглядаються як перспективні матеріали для електронної техніки. Крім того, на основі фулеренів створені сверхнізко- і сверхвисокотемпературние мастильні матеріали і сполуки, які мають надпровідність, отримані речовини, по твердості перевершують алмаз (див. "Наука і життя" № 10, 1995 г.).
Назва "фулерени" дано новому класу модифікацій вуглецю в честь американського архітектора Бакмінстра Фуллера, який розробив конструкцію сферичних куполів. Одне з таких будівель було побудовано на міжнародній виставці ЕХРО-67 в Монреалі. Основний мотив споруди - повторювані шестикутні фрагменти, між якими в певних місцях введені п'ятикутні, що надають необхідну кривизну об'ємної конструкції.
Симетрія в живому світі
Наведемо ще один факт, помічений дослідниками. Суворо заборонена в кристалографії поворотна симетрія 5-го порядку найбільш ефективно представлена в світі рослин і в найпростіших живих організмах, зокрема в деяких різновидах вірусів, в деяких мешканців морів (морські зірки, морські їжаки, колонії зелених водоростей, радіолярії і ін.) І в інших об'єктах, "будують життя". Поворотна симетрія 5-го порядку характерна для багатьох польових квітів (звіробій, незабудка, дзвіночок і ін.), Для квітів плодово-ягідних рослин (малина, калина, горобина, шипшина тощо.), Для квітів плодових дерев (вишня, груша, яблуня, мандарин і ін.). Луска у ялинової шишки, зерна у соняшнику або осередки у ананаса також утворюють деякий квазірегулярних покриття поверхні, в якому сусідні осередки організовуються в добре помітні спіралі.
Як бачимо, поворотна симетрія 5-го порядку, що грає важливу роль в квазікристалів, найбільш яскраво проявляється як би в перехідній області між статично неживим і пластично гнучким живим світом природи. І ось тут-то напрошується думка про те, що внутрішня будова квазікристалів служить своєрідним початком руху від застиглих кристалічних форм до рухомим актуальним структурам. Іншими словами, квазікристали можна розглядати як перехідну форму від стійких і передбачуваних трансляційний них конструкцій, несучих малий обсяг інформації, до рухливості, до вільного руху, до більш інформаційно насиченим структурам. Ця обставина має глибоке філософсько-пізнавальне значення і тому вимагає окремого обговорення.
На закінчення відзначимо, що дослідження утворень з ікосаедріческой симетрією призвело до перегляду багатьох уявлень вчених про структуру та властивості речовин. Свого часу математики до раціональних числах додали ірраціональні числа, розширивши поняття числа. Аналогічний процес відбувається і в кристалографії. Сьогодні активно формується несуперечливий перехід від кристалічних структур, описуваних традиційної кристаллографией, до квазікрісталліческая, що підкоряється певним математичним законам в рамках своєрідною узагальненої кристалографії. В узагальненому визначенні кристала замість елементарного осередку, що повторюється в просторі строго періодичним чином, ключовим поняттям стає дальній порядок. Локальна структура визначається вже не тільки найближчими сусідами, а й більш віддаленими частками.
Вивчення квазікристалічних об'єктів привело до цілого ряду відкриттів і прикладних розробок. Структурну досконалість термодинамічно стабільних квазікристалів ставить їх в один ряд з кращими зразками звичайних кристалів. На їх основі отримують легкі та дуже міцні скла. Тонкі плівки і покриття з квазікристалів мають дуже низьким коефіцієнтом тертя. З використанням квазікристалів створюють композиційні матеріали, наприклад стійкі до тертя гуми. Особливо привабливі їх мала електро- і теплопровідність, висока твердість, стійкість до корозії і окисленню, хімічна інертність і нетоксичність. Сьогодні вже отримано чимало перспективних квазікристалів, про які кілька десятиліть тому навіть не мріяли.
Дослідження квазікристалів стимулювали і відродження інтересу до ідей і методів побудови мозаїк, до математичної теорії замощення необмеженої площині. Неабиякою мірою цьому сприяли і чудові роботи голландського художника Моріца Ешера (1898-1972), який у своїй творчості часто використовував складені з повторюваних мотивів плоскі фігури, що покривають всю площину. Подібні орнаменти відповідають важливою математичної ідеї періодичності. Тому творчість Ешера викликало інтерес не тільки у мистецтвознавців і дизайнерів, а й у математиків. Шкода, що у нього немає сучасних послідовників, які в своїй творчості використовували б ідею квазипериодических замощення площині.
Опис квазіперіодичних структур формується на основі об'єднання різних дисциплін, таких, як сучасна геометрія, теорія чисел, статистична фізика і поняття золотий пропорції. Несподівана поява золотий пропорції в структурі квазікристалів говорить про присутність в їх симетрії живого "мотиву", так як на відміну від неживих кристалів тільки живий світ допускає чудові співвідношення золотий пропорції.
Більш ніж двадцятирічне дослідження квазікристалів, незважаючи на всю свою плідність, все ще залишило багато невирішених питань. Наприклад, класичні кристали мають "день народження" і при сприятливих умовах здатні до зростання, але до сих пір невідомо, як ростуть квазікристалів. На відміну від рослин, які виростають зсередини, кристали ростуть зовні шляхом послідовного додавання все нових і нових частинок до зовнішніх гранях. Пояснити подібним чином зростання квазікристалів неможливо. У книзі Р. Пенроуза "Новий розум короля" говориться, що процес зростання квазікристалів обумовлений нелокальним механізмом, коли нарощуються відразу цілі групи частинок, які як би заздалегідь домовляються підійти до поверхні в потрібний момент часу. "Наявність такої властивості, - йдеться в книзі, - одна з причин серйозних розбіжностей, що виникають сьогодні у зв'язку з питанням про квазікристалічних структурах і їх вирощуванні, так що було б нерозумно намагатися робити остаточні висновки до тих пір, поки не будуть вирішені деякі засадничі питання ".
Як бачимо, в зростанні квазікристалів багато досі не ясно. Крім того, немає остаточно сформованих фізичних уявлень про особливості їх будови, ніхто не почув фізичне обгрунтування їх міцності, пластичних, пружних, електричних, магнітних та інших властивостей. Незважаючи на ці труднощі, підвищений інтерес вчених до загадки, яку їм піднесла природа у вигляді квазікристалів, не слабшає, і в подальшому, без сумніву, ще не раз будуть отримані несподівані результати.
література
Грата Д. Квазікристали // УФН, 1988, т. 156, вип. 2.
Пенроуз Р. Новий розум короля. - М .: УРСС, 2003.
Стівенз П. В., Гоулдман А. І. Структура квазікристалів // Світ науки, 1991, № 6.
Підписи до ілюстрацій
Іл. 1. Якщо прийняти АВ = ВС = 1, то АС = √2 = 1,41421 ... Це число ірраціональне, тобто виражено у вигляді нескінченної неперіодичної десяткового дробу. Проте його положення на числовій осі точно визначено.
Іл. 2. Сімейство паралельних ліній демонструє дальній трансляційний порядок кристала. Елементарна комірка у вигляді шестикутника, в центрі якого розташована структурна частка, демонструє дальній орієнтаційний порядок - в будь-якій частині кристала шестикутники мають однаково спрямоване розташування.
Іл. 3. Ікосаедр має 30 ребер і 12 вершин, його поверхня утворена 20-ю трикутниками. У додекаедра 30 ребер і 20 вершин, поверхня складена з 12 п'ятикутників. Взагалі конфігурація будь-якого правильного багатогранника (до них відносяться також тетраедр, куб і октаедр) визначається теоремою Ейлера: В + Г - Р = 2, де В - число вершин, Г - граней, Р - ребер.
Іл. 4. Фуллерен С60 - усічений ікосаедр з атомами вуглецю в вершинах. Він має 32 грані (12 п'ятикутних і 20 шестикутних), 60 вершин і 90 ребер (60 на кордоні п'яти-і шестикутників і 30 на кордоні тільки шестикутників). Напрямні ребра такого многогранника утворюють деяку подобу мозаїки Пенроуза.
Коментарі
1 Квазі ... (лат. Quasi - ніби, нібито) - приставка при різних словах, відповідна за значенням словами "уявний", "несправжній", "нібито".