Групова швидкість

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Групова швидкість - це величина, що характеризує швидкість поширення «групи хвиль» - тобто більш-менш добре локалізованої квазімонохроматіческой хвилі (хвилі з досить вузьким спектром). Зазвичай інтерпретується як швидкість переміщення максимуму амплітудної обвідної квазімонохроматіческого хвильового пакета (Або цуга хвиль). У разі розгляду поширення хвиль в просторі розмірністю більше одиниці мається на увазі, як правило, хвильової пакет, близький за формою до плоскої хвилі [1] .

Групова швидкість в багатьох важливих випадках визначає швидкість перенесення енергії та інформації квазісінусоідальние хвилею (хоча це твердження в загальному випадку вимагає серйозних уточнень і застережень).

Групова швидкість визначається динамікою фізичної системи, в якій поширюється хвиля (конкретного середовища, конкретного поля ітп). У більшості випадків мається на увазі лінійність цієї системи (точно або наближено).

Для одновимірних хвиль групова швидкість обчислюється з закону дисперсії :

v g r = d ω / d k {\ displaystyle v_ {gr} = d \ omega / dk} $v g r = d ω / d k {\ displaystyle v_ {gr} = d \ omega / dk} ,$ ,

де ω {\ displaystyle \ omega} $де ω {\ displaystyle \ omega} - кутова частота , K {\ displaystyle k} - хвильове число$ - кутова частота , K {\ displaystyle k} - хвильове число .

Групова швидкість хвиль в просторі (наприклад, тривимірному або двовимірному) визначається градієнтом частоти по хвильовому вектору k → {\ displaystyle {\ vec {k}}} $Групова швидкість хвиль в просторі (наприклад, тривимірному або двовимірному) визначається градієнтом частоти по хвильовому вектору k → {\ displaystyle {\ vec {k}}} :$ :

v → g r = ∇ k → ω {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {gr} = \ nabla _ {\ vec {k}} \ omega} $v → g r = ∇ k → ω {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {gr} = \ nabla _ {\ vec {k}} \ omega}$

або (для тривимірного простору):

(V g r) x = ∂ ω / ∂ k x, {\ displaystyle (v_ {gr}) _ {x} = \ partial \ omega / \ partial k_ {x},} $(V g r) x = ∂ ω / ∂ k x, {\ displaystyle (v_ {gr}) _ {x} = \ partial \ omega / \ partial k_ {x},} (V g r) y = ∂ ω / ∂ k y, {\ displaystyle (v_ {gr}) _ {y} = \ partial \ omega / \ partial k_ {y},} (V g r) z = ∂ ω / ∂ k z$ (V g r) y = ∂ ω / ∂ k y, {\ displaystyle (v_ {gr}) _ {y} = \ partial \ omega / \ partial k_ {y},} (V g r) z = ∂ ω / ∂ k z. {\ Displaystyle (v_ {gr}) _ {z} = \ partial \ omega / \ partial k_ {z}.}

Зауваження: групова швидкість, взагалі кажучи, залежить від хвильового вектора (в одновимірному випадку - від хвильового числа), тобто, взагалі кажучи, різна для різної величини і для різних напрямків хвильового вектора.

В одновимірних середовищах без дисперсії групова швидкість формально збігається з фазової швидкістю лише в разі одновимірних хвиль.

У дисипативних (поглинаючих) середовищах групова швидкість зменшується зі збільшенням частоти в разі нормальної дисперсії фазової швидкості і, навпаки, збільшується в середовищах з аномальної дисперсією . При цьому можливе подолання груповою швидкістю швидкості світла, а також негативна аномальна дисперсія, коли групова швидкість протилежна фазової. У дисипативних структурах (наприклад, плазмонних) групова швидкість може мати будь-яке значення: менше швидкості світла, більше швидкості світла, бути негативною по відношенню до фазової швидкості, переходити через нескінченність. Така групова швидкість є величина кінематична (як і фазова швидкість) і визначає швидкість перенесення биття двох нескінченно близьких по частоті монохроматичних хвиль (як її розглядав Стокс). Для Гамільтонових систем (замкнутих систем без дисипації) в загальному випадку С.М. Ритовим (ЖЕТФ, 7, 930, 1947) доведено теорему, яка стверджує, що групова швидкість збігається зі швидкістю перенесення електромагнітної енергії монохроматичної хвилею (теорема Леонтовича-Лайтхілла-Ритова). Негативна (по відношенню до фазової швидкості) групова швидкість в таких недіссіпатівних середовищах і структурах відповідає зворотним хвилях. У дисипативних середовищах і структурах напрямок руху енергії визначає вектор Пойнтінга або напрямок загасання хвилі.

Якщо дисперсійні властивості середовища такі, що хвильової пакет поширюється в ній без істотних змін форми своєї обвідної, групова швидкість зазвичай може бути інтерпретована як швидкість переносу «енергії» хвилі і швидкість, з якою можуть бути передані за допомогою хвильового пакета сигнали, що несуть інформацію, (тобто «швидкість поширення причинності»).

У класичному межі квантовомеханических рівнянь швидкість класичної частинки являє собою значення групової швидкості відповідної квантовомеханічною хвильової функції. Одне з пари канонічних рівнянь Гамільтона :

q ˙ i = ∂ H / ∂ p i {\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = \ partial H / \ partial p_ {i}} $q ˙ i = ∂ H / ∂ p i {\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = \ partial H / \ partial p_ {i}}$

- Тобто, таким чином, класичний межа наведеного вище виразу для групової швидкості; це особливо ясно в декартових координатах, враховуючи p → = ℏ k →, H (p, q) = ℏ ω (k, q). {\ Displaystyle {\ vec {p}} = \ hbar {\ vec {k}}, \ H (p, q) = \ hbar \ omega (k, q).} - Тобто, таким чином, класичний межа наведеного вище виразу для групової швидкості; це особливо ясно в декартових координатах, враховуючи p → = ℏ k →, H (p, q) = ℏ ω (k, q)

Ідея групової швидкості, що відрізняється від фазової швидкості хвилі, вперше запропонована Гамільтоном в 1839 році. Перше досить повне розгляд зроблено Релєєм в його «Теорії звуку» ( «Theory of Sound») в 1877 [2] .

Уізем Дж. Б. Лінійні і нелінійні хвилі. - М .: Мир. - одна тисяча дев'ятсот сімдесят сім.
Ablowitz MJ & Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform. - SIAM Philadelphia. - тисячі дев'ятсот вісімдесят один.
Rabinovich MI, Trubetskov DI Oscillations and waves in linear and nonlinear systems . - Kewver-Academic Publ., Amsterdam. - 1989.
Ostrovsky LA and Potapov AI Modulated Waves. Theory and Applications. - Jonh Hopkins Uni Press, Baltimore - London. - 1 999.