- Призма, вписана в сферу. Властивості призми, вписаної в сферу Визначення 1. Призмою, вписаною в...
- Відношення обсягу правильної n - вугільної призми до обсягу кулі, обмеженого описаного навколо призми...
Призма, вписана в сферу. Властивості призми, вписаної в сферу
Визначення 1. Призмою, вписаною в сферу, називають таку призму , Усе вершини якої лежать на сфері (Рис. 1).
Визначення 2. Якщо призма вписана в сферу, то сферу називають описаного навколо призми.
рис.1
Теорема. Близько призми можна описати сферу тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:
- Призма є прямий призмою ;
- Близько підстав призми можна описати кола.
Доведення. Доведемо спочатку, що якщо n - вугільна призма A 1 A 2 ... AnA '1 A' 2 ... A'n вписана в сферу, то обидва умови теореми виконані.
Для цього зауважимо, що площина кожного з підстав призми перетинає сферу по колу, на якій лежать вершини цього підстави . Таким чином, багатокутники, які є підставами призми, виявляються вписаними в окружності (рис. 1), тобто друга умова теореми виконано.
кожна з бічних граней призми також вписана в коло (рис. 2).
рис.2
В розділі «Призми» доведено, що кожна з бічних граней призми - паралелограм. але близько паралелограма можна описати коло тоді і тільки тоді, коли цей паралелограм - прямокутник. Отже, всі бічні грані призми є прямокутниками.
Розглянемо якусь бічне ребро призми , Наприклад, A 2 A '2. Оскільки це ребро перпендикулярно до ребер підстави A 1 A 2 і A 2 A 3, то в силу ознаки перпендикулярності прямої і площини робимо висновок, що бічне ребро A 2 A '2 перпендикулярно до площини підстави призми, тобто призма є прямий призмою .
Таким чином, ми довели, що, якщо призма вписана в сферу, то обидва умови теореми виконані.
тепер розглянемо пряму n - вугільну призму A 1 A 2 ... AnA '1 A' 2 ... A'n висоти h, близько підстав якої можна описати кола, і доведемо, що близько такої призми можна описати сферу.
Для цього позначимо символом O 1 центр кола радіуса r, описаного навколо нижньої основи призми, а символом O '1 позначимо центр кола, описаного навколо верхнього підстави призми (рис. 3).
рис.3
Оскільки багатокутники, що лежать в основах призми рівні, то і радіуси описаних біля них кіл дорівнюватимуть.
згідно твердженням 1 з розділу «Призми, вписані в циліндри» відрізок O 1 O '1, що з'єднує центри кіл, описаних близько нижнього і верхнього підстав призми, паралельний і дорівнює бічного ребра призми . Оскільки розглянута призма пряма, то її бічні ребра перпендикулярні площині підстави та є рівними висоті призми h. Значить, і відрізок O 1 O '1 перпендикулярний площині підстави призми і дорівнює h.
Позначимо буквою O середину відрізка O 1 O '1 і доведемо, що всі вершини призми будуть перебувати на одному і тому ж відстані від точки O (рис. 4).
рис.4
C допомогою теореми Піфагора з рівних прямокутних трикутників OA 1 O 1, OA 2 O 1, ... OAnO 1, OA '1 O' 1, OA '2 O' 1, ... OA'nO '1 отримуємо, що точка O знаходиться на відстані
від всіх вершин призми. Звідси випливає, що точка O є центром сфери радіуса R, описаного навколо призми.
Теорема доведена.
Слідство 1. Близько будь прямий трикутної призми можна вписати сферу.
Справедливість слідства 1 випливає з того, що близько будь-якого трикутника можна описати коло.
Слідство 2. Близько будь-якого прямокутного паралелепіпеда (Зокрема, близько куба прямокутного паралелепіпеда (Зокрема, близько куба ) Можна описати сферу.
Справедливість слідства 2 випливає з того, що близько будь-якого прямокутника можна описати коло.
Слідство 3. Близько будь правильної призми можна описати сферу.
Для доказу слідства 3 досить помітити, що правильна n - вугільна призма - це пряма призма, основи якої є правильними n - косинцями, а близько будь-якого правильного n - кутника можна описати коло .
Радіус сфери, описаної близько правильної n - вугільної призми
Завдання 1. Знайти радіус сфери , Описаного навколо правильної n - вугільної призми з висотою h і ребром підстави a.
Рішення. оскільки радіус описаного навколо правильного n - кутника окружності виражається через сторону цього багатокутника радіус описаного навколо правильного n - кутника окружності виражається через сторону цього багатокутника за формулою
то з формули (1) отримуємо вираз для радіуса описаної сфери
Відповідь. 
Слідство 4. Радіус сфери, описаної близько правильної трикутної призми правильної трикутної призми з висотою h і ребром підстави a дорівнює
Слідство 5. Радіус сфери, описаної близько правильної чотирикутної призми правильної чотирикутної призми з висотою h і ребром підстави a дорівнює
Слідство 6. Радіус сфери, описаної близько близько правильної шестикутної призми з висотою h і ребром підстави a дорівнює
Відношення обсягу правильної n - вугільної призми до обсягу кулі, обмеженого описаного навколо призми сферою
Завдання 2. Близько правильної n - вугільної призми з висотою h і ребром підстави a описана сфера . Знайти відношення об'ємів призми і кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї призми.
Рішення. Обсяг кулі виражається через його радіус за формулою
Скориставшись формулою (2), висловимо об'єм кулі, обмеженого описаного навколо призми сферою, через висоту і ребро підстави призми:
Обсяг правильної n - вугільної призми знайдемо за формулою Обсяг правильної n - вугільної призми знайдемо за формулою :
Таким чином,
Відповідь. 
Слідство 7. Відношення обсягу правильної трикутної призми з висотою h і ребром підстави a до обсягу кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї призми, так само
Слідство 8. Відношення обсягу правильної чотирикутної призми правильної чотирикутної призми з висотою h і ребром підстави a до обсягу кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї призми, так само
Слідство 9. Відношення обсягу правильної шестикутної призми з висотою h і ребром підстави a до обсягу кулі, обмеженого сферою, описаного навколо цієї призми, так само
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики .
Запрошуємо школярів (можна разом з батьками) на безкоштовне тестування з математики, що дозволяє з'ясувати, які розділи математики і навички у вирішенні завдань є для учня «проблемними».
Запис по телефону (495) 509-28-10
Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ з математики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить
У нас також для школярів організовані